Question

过抛物线y²=4x上一点A（1，2）作抛物线的切线，分别交x轴于点B，交y轴于点D，点C（异于点A）在抛物线上，点E在线段AC上，满足=λ₁；点F在线段BC上，满足=λ₂，且λ₁+λ₂=1，线段CD与EF交于点P．
（1）设，求λ；
（2）当点C在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）设出过A点的切线方程，确定出D点，分别表示出，，根据λ₁+λ₂=1，求出λ的值．
（2）设C（x，y），P（x，y），用x，y表示出x，y，代入抛物线方程，进而确定P点的轨迹．
解答：解：（1）过点A的切线方程为y=x+1． …（1分）
切线交x轴于点B（-1，0），交y轴交于点D（0，1），则D是AB的中点．
所以．                            （1）…（3分）
由⇒=（1+λ）⇒． （2）
同理由 =λ₁，得=（1+λ₁），（3）
=λ₂，得=（1+λ₂）．     （4）
将（2）、（3）、（4）式代入（1）得．
因为E、P、F三点共线，所以 +=1，
再由λ₁+λ₂=1，解之得λ=．…（6分）
（2）由（1）得CP=2PD，D是AB的中点，所以点P为△ABC的重心．
所以，x=，y=．
解得x=3x，y=3y-2，代入y²=4x得，（3y-2）²=12x．
由于x≠1，故x≠3．所求轨迹方程为（3y-2）²=12x （x≠3）． …（10分）
点评：本题以抛物线为载体，巧妙整合平面几何中如下一个著名结论命制而成的．考查曲线的轨迹方程的探求及综合应用能力．