Question

如图已知四边形ABCD是正方形，BE∥AC,AC=CE,EC的延长线交BA的延长线于F.

求证：=.

Answer 1

思路分析：可以建立直角坐标系，要证明||=||，只要求出A与E、F点的坐标即可.

证明：如题图，以正方形ABCD的CD所在直线为x轴,以C点为原点建立直角坐标系.设正方形的边长为1,则A、B的坐标分别为（-1，1），（0，1）若E点的坐标为（x,y），则=（x,y-1）,=(1,-1).

∵∥,

即x+y=1①

又∵||=||.

∴x²+y²=2.②

由①②得E点的坐标为（，）.

如果设F点的坐标为（x′,1），由=（x′,1）与=（，）共线，得x′-=0，解得

x′=-(2+)，即点F的坐标为（-2-，1）.

∵=(-1-,0),=(,).

∴||=1+=||.即AF=AE.

温馨提示

    由于向量同时具备数、形的特点，能够顺利实现形、数的相互转化，因此在解决几何问题时常常能够化严格的逻辑推理为简单的计算.特别是在触及线段的平行或垂直问题时，向量便更有用武之地了.