Question

如图，已知四边形ABCD为直角梯形，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=2，AB=BC=1，沿AC将△ABC折起，使点B到点P的位置，且平面PAC⊥平面ACD．
（I）证明：DC⊥平面APC；
（II）求二面角B-AP-D的余弦值．

Answer 1

分析：（I）证明DC⊥平面APC，因为平面PAC⊥平面ACD，只需证明DC⊥AC即可
（II）建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出平面APB、平面APD的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得二面角B-AP-D的余弦值．

解答：（I）证明：∵∠ABC=90°，AB=BC=1，∴AC=

2

∵四边形ABCD为直角梯形，AD=2，AB=BC=1
∴CD=

2

，∴AC²+CD²=AD²，∴∠ACD=90°
∴DC⊥AC
∵平面PAC⊥平面ACD，平面PAC∩平面ACD=AC．
∴DC⊥平面APC；
（II）建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，2，0），P（

1

2

，

1

2

，

2

2

）
∴

AB

=(1，0，0)，

AP

=(

1

2

，

1

2

，

2

2

)，

AD

=(0，2，0)
设平面APB的法向量为

n

=(x1，y1，z1)，平面APD的法向量为

m

=(x2，y2，z2)
∵

n

•

AB

=0，

n

•

AP

=0
∴

x1=0 x1 2 + y1 2 + 2 z1 2 =0

∴可取

n

=(0，-

2

，1)
同理

m

=(-

2

，0，1)
∴cos＜

n

，

m

＞  =

n • m

| n || m |

=

1

3

∵二面角B-AP-D的平面角为钝二面角
∴二面角B-AP-D的余弦值为-

1

3

．

点评：本题考查线面垂直，考查面面角，解题的关键是掌握线面垂直的判断方法，掌握平面法向量的求解，属于中档题．