Question

如图，已知平面α∩β=?，A，B∈α，C，D∈?，ABCD为矩形，P∈B，PA⊥α，且PA=AD，M、N、F依次是AB、PC、PD的中点．
（1）求证：四边形AMNF为平行四边形；
（2）求证：MN⊥AB
（3）求异面直线PA与MN所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）利用三角形中位线定理及矩形性质，即可证明FN∥AM，FN=AM，从而利用平行四边形判定定理即可得证
（2）先利用线面垂直的定义，证明AB⊥PA，再利用线面垂直的判定定理证明AB⊥平面PAD，最后由线线角的定义即可证明结论
（3）先利用（2）找到异面直线所成的角的平面角，再在三角形中计算此角即可

解答：证明：（1）∵F、N分别为PD、PC的中点
∴FN∥CD，FN=

1

2

CD
∵ABCD为矩形，
∴AM∥CD，AM=

1

2

CD
∴FN∥AM，FN=AM
∴四边形AMNF为平行四边形．
（2）由（1）知MN∥AF．
∵

PA⊥α AB?α

⇒PA⊥AB，ABCD是矩形⇒AB⊥AD，PA∩AD=A  
∴AB⊥平面PAD，AF?平面PAD
∴AB⊥AF，AF∥MN
∴AB⊥MN
（3）∵MN∥AF
∴∠PAF是异面直线PA与MN所成的角
在三角形PAD中
由

PA=AD F是PD的中点

⇒

AF为∠PAD的角平分线 ∠PAD=90°

⇒∠PAF=45°
故所求角为45°．

点评：本题考查了平行公理，线面垂直的性质及判定，异面直线所成的角的作法，证法，求法，将空间问题转化为平面问题的思想方法