Question

（2013•宁德模拟）如图，已知平面AEMN丄平面ABCD，四边形AEMN为 正方形，四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠ABC=90°，BC=CD=2AB=2，E 为 CD 的中点．
（I ）求证：MC∥平面BDN；
（II）求多面体ABDN的体积．

Answer 1

分析：（I ）通过证明四边形AEMN为平行四边形，然后利用直线与平面平行的判定定理证明MC∥平面BDN；
（II）说明BC的长度就是D到AB的距离，利用V_A-BDN=V_N-ABD，求出多面体ABDN的体积．

解答：解：（I ）证明：∵AB∥CD，CD=2AB，E为CD的中点，∴AB

∥

.

CE，
∴四边形ABCE为平行四边形，∴BC

∥

.

AE，
∵四边形AEMN是正方形，∴AE

∥

.

MN，∴BC

∥

.

MN，
所以四边形BCMN为平行四边形，
∴MC∥NB，
又∵NB?平面BDN，MC?平面BDN，
∴MC∥平面BDN；
（II）因为平面AEMN丄平面ABCD，
平面AEMN∩平面ABCD=AE，
又AN⊥AE，AN?平面AEMN，
∴AN⊥平面ABCD，
∵AB∥CD，∠ABC=90°，
∴BC的长度就是D到AB的距离，
∴V_A-BDN=V_N-ABD=

1

3

×S△ABD×AN=

1

3

×

1

2

×AB×BC×AN=

1

3

×

1

2

×1×2×2=

2

3

．
∴多面体V_A-BDN的体积为

2

3

．

点评：本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查计算能力空间想象能力．