Question

（2012•青州市模拟）如图，已知平面BCC₁B₁是圆柱的轴截面（经过圆柱的轴的截面），BC是圆柱底面的直径，O为底面圆心，E为母线CC₁的中点，已知AB=AC=AA₁=4．
（Ⅰ）求证：B₁O⊥平面AEO；
（Ⅱ）求二面角B₁-AE-O的余弦值；
（Ⅲ）求三棱锥A-B₁OE的体积．

Answer 1

分析：（I）建立空间直角坐标系A-xyz，设出点的坐标，表示出向量的坐标，利用向量的数量积，确定线线垂直，即可确定线面垂直；
（II）求出平面AEO、平面 B₁AE的法向量，利用向量的夹角公式，可求二面角B₁-AE-F的余弦值；
（Ⅲ）确定AO⊥EO，计算AO，EO的长，利用等体积，即可求得结论．

解答：（I）证明：依题意可知，AA₁⊥平面ABC，∠BAC=90°，如图建立空间直角坐标系A-xyz，因为AB=AC=AA₁=4，则A（0，0，0），B（4，0，0），E（0，4，2），O（2，2，0），B₁（4，0，4）

B1O

=(-2，2，-4)，

EO

=(2，-2，-2)，

AO

=（2，2，0）
∴

B1O

•

EO

=0，∴

B1O

⊥

EO

∴B₁O⊥EO
同理B₁O⊥AO
∵AO∩EO=O，AO，EO?平面AEO
∴B₁O⊥平面AEO；         （4分）
（II）解：平面AEO的法向量为

B1O

=(-2，2，-4)，设平面B₁AE的法向量为

n

=(x，y，z)，
∴

n • AE =0 n • B1A =0

，∴

2y+z=0 x+z=0

令x=2，则

n

=(2，1，-2)
∴cos＜

n

，

B1O

＞=

6

9 × 24

=

6

6

∴二面角B₁-AE-F的余弦值为

6

6

                         （8分）
（Ⅲ）解：∵

AO

•

EO

=0，∴

AO

⊥

EO

，∴AO⊥EO
∵AO=

22+22+0

=2

2

，EO=2

3

∴三棱锥A-B₁OE的体积=VB1-AOE=

1

3

S_△AOE•B₁O=

1

3

×

1

2

×2

2

×2

3

×2

6

=8         （12分）

点评：本题考查向量知识的运用，考查线面垂直，考查面面角，考查三棱锥体积的计算，解题的关键是利用空间向量法，确定平面的法向量．