Question

（本小题满分14分）
已知椭圆的中心在坐标原点，两个焦点分别为，，点在椭圆 上，过点的直线与抛物线交于两点，抛物线在点处的切线分别为，且与交于点.
(1) 求椭圆的方程；
(2) 是否存在满足的点? 若存在，指出这样的点有几个（不必求出点的坐标）; 若不存在，说明理由.

Answer 1

(1)  (2) 满足条件的点有两个

解析试题分析：(1) 解法1：设椭圆的方程为,
依题意:    解得:   
∴ 椭圆的方程为.
解法2：设椭圆的方程为，
根据椭圆的定义得，即， 
∵，  ∴.  
∴ 椭圆的方程为.
(2)解法1：设点,，则，
，
∵三点共线,
∴.  
∴,                  
化简得：. ① 
由,即得. 
∴抛物线在点处的切线的方程为，即. ②
同理，抛物线在点处的切线的方程为 .    ③        
设点，由②③得：，
而，则 .
代入②得 ，   
则，代入 ① 得 ，即点的轨迹方程为.
若 ，则点在椭圆上，而点又在直线上，
∵直线经过椭圆内一点,
∴直线与椭圆交于两点.
∴满足条件 的点有两个.
解法2：设点,，，
由,即得. 
∴抛物线在点处的切线的方程为，
即. 
∵