Question

1．定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M≥0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的一个上界，已知函数f（x）=1+a（$\frac{1}{2}$）^x+（$\frac{1}{4}$）^x，g（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{1+x}{x-1}$．
（1）求函数g（x）在区间[$\frac{5}{3}$，3]上的所有上界构成的集合；
（2）若函数f（x）在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数单调性的性质求出函数g（x）在区间[$\frac{5}{3}$，3]上的取值范围，结合上界的定义进行求解即可．
（2）由|f（x）|≤3在[1，+∞）上恒成立，设$t={（{\frac{1}{2}}）^x}$，t∈（0，1]，由-3≤f（x）≤3，得-3≤1+at+t²≤3，$-（{t+\frac{4}{t}}）≤a≤\frac{2}{t}-t$在（0，1]上恒成立．由此入手，能够求出实数a的取值范围．

解答 解：（1）t=$\frac{1+x}{x-1}$=$\frac{x-1+2}{x-1}$=1+$\frac{2}{x-1}$，在$\frac{5}{3}$≤x≤3上为减函数，
∴2≤t≤4，
则log${\;}_{\frac{1}{2}}$4≤g（x）≤log${\;}_{\frac{1}{2}}$2，
即-2≤g（x）≤-1，
则|g（x）|≤2，
即M≥2，
即函数g（x）在区间[$\frac{5}{3}$，3]上的所有上界构成的集合为[2，+∞）．
（2）由题意知，|f（x）|≤3在[0，+∞）上恒成立
设$t={（{\frac{1}{2}}）^x}$，t∈（0，1]，由-3≤f（x）≤3，得-3≤1+at+t²≤3
∴$-（{t+\frac{4}{t}}）≤a≤\frac{2}{t}-t$在（0，1]上恒成立…（6分）
设$h（t）=-t-\frac{4}{t}$，$p（t）=\frac{2}{t}-t$，h（t）在（0，1]上递增；p（t）在（0，1]上递减，h（t）在（0，1]上的最大值为h（1）=-5；p（t）在（0，1]上的最小值为p（1）=1，…（9分）
所以实数a的取值范围为[-5，1]．…（10分）

点评 本题考查函数的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，正确理解新定义，合理地进行等价转化是解决本题的关键．