Question

已知向量

m

=（4

2

sin

x

2

，-4cos

x

2

），

n

=（cos

x

2

，

2

cos

x

2

），函数f（x）=

m

•

n

．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增减区间；
（Ⅱ）△ABC中，设A，B，C的对边分别为a，b，c，f（A）=-2

2

；
①求角A的大小；
②若b=4

2

，且c=

2

a，△ABC的面积．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用,正弦定理

专题：综合题,三角函数的求值,平面向量及应用

分析：（1）向量

m

=（4

2

sin

x

2

，-4cos

x

2

），

n

=（cos

x

2

，

2

cos

x

2

），求出f（x）=4sin（x-

π

4

）-2

2

，利用三角函数性质求解．
（2）f（A）=-2

2

∴sin（A-

π

4

）=0，解三角方程即可得到A的值．由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，a²-8

2

a+32=0，解得a的值，即可得到c的值，再由S_△ABC=

1

2

bcsinA求出面积．

解答： 解：（1）f（x）=函数f（x）=

m

•

n

．
∵向量

m

=（4

2

sin

x

2

，-4cos

x

2

），

n

=（cos

x

2

，

2

cos

x

2

），
∴f（x）=4

2

sin

x

2

cos

x

2

-4

2

cos²

x

2

=2

2

sinx-2

2

（1+cosx）=4sin（x-

π

4

）-2

2

求函数f（x）的单调减区间即求y=sin（x-

π

4

）的单调减区间
2kπ+

π

2

≤x-

π

4

≤2kπ+

3π

2

（k∈z）
得2kπ

3π

4

≤x≤2kπ+

7π

4

（k∈z）
故函数f（x）的单调减区间为：[2kπ

3π

4

，kπ+

7π

4

]k∈z）
（2）①∵f（A）=-2

2

∴sin（A-

π

4

）=0
又∵0＜A＜π，∴-

π

4

＜A-

π

4

＜

3π

4

即A-

π

4

=0，A=

π

4

②由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA
b=4

2

，c=

2

a，A=

π

4

得a²=32+2a²-2×4

2

×

2

a×

2

2

即a²-8

2

a+32=0，解得a=4

2

∴c=8
∴S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×4

2

×8×sin

π

4

=16

点评：本题运用向量的知识考察了三角函数的性质，解三角形等知识，综合性较大，做题思路要清晰，但是难度不是很大．