题目内容

已知 $数学公式$ 、 $数学公式$ 是两个不共线的非零向量．
（1）设 $数学公式$ ， $数学公式$ （t∈R）， $数学公式$ ，当A、B、C三点共线时，求t的值．
（2）如图，若 $数学公式$ ， $数学公式$ ， $数学公式$ 与 $数学公式$ 夹角为120°，| $数学公式$ |=| $数学公式$ |=1，点P是以O为圆心的圆弧 $数学公式$ 上一动点，设 $数学公式$ （x，y∈R），求x+y的最大值．

解：（1）由题意，A、B、C三点共线，可设 $\text{[math]}$ ，（2分）
∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （t∈R）， $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴k=-3，t= $\text{[math]}$ ．（6分）
（2）以O为原点，OD为x轴建立直角坐标系，则D（1，0），E（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．
设∠POD=α（0≤α $\text{[math]}$ ），则P（cosα，sinα），由 $\text{[math]}$ ，得cosα=x- $\text{[math]}$ y，sinα= $\text{[math]}$ ，于是y= $\text{[math]}$ ，x=cosα+ $\text{[math]}$ ，（10分）
于是x+y=cosα+ $\text{[math]}$ =2sin（α+ $\text{[math]}$ ），
故当α= $\text{[math]}$ 时，x+y的最大值为2．（14分）
分析：（1）利用向量共线定理，及已知向量建立等式，利用平面向量基本定理，即可得到结论；
（2）建立坐标系，用三角函数确定x+y，再利用辅助角公式，即可得到结论．
点评：本题考查向量知识的综合运用，考查三角函数知识，解题的关键是掌握向量共线定理，正确运用三角函数知识，属于中档题．