题目内容

椭圆M：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆M上任一点，且PF1•PF2的最大值为3c2，其中c2=a2-b2，则椭圆M的离心率为
 
．
分析：先根据题意得到两焦点的坐标，设出点P的坐标进而可表示出
PF1
、
PF2
，再得到二者的数量积后将x2=
a2 (b2-y2)
b2
代入消去x得到关于y的关系式，进而可得到当y=0时
PF1
•
PF2
的值取到最大，进而可求出离心率．
解答：解：由题意可知F1（-c，0），F2（c，0），设点P为（x，y）
∵
x2
a2
+
y2
b2
=1∴x2=
a2 (b2-y2)
b2

∴
PF1
=(-c-x，-y)，
PF2
=(c-x，-y)
∴
PF1
•PF2
=x2-c2+y2=
a2 (b2-y2)
b2
-c2+y2
=a2-c2-
c2y2
b2

当y=0时
PF1
•PF2
取到最大值3c2，即a2-c2=3c2，
∴a2=4c2∴e=
c
a
=
1
2

故答案为：
1
2
点评：本题主要考查向量的数量积运算和椭圆的简单性质．考查对基础知识的综合运用．
练习册系列答案
相关题目
（2012•山东）如图，椭圆M：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
3
2
，直线x=±a和y=±b所围成的矩形ABCD的面积为8．
（Ⅰ）求椭圆M的标准方程；
（Ⅱ）设直线l：y=x+m（m∈R）与椭圆M有两个不同的交点P，Q，l与矩形ABCD有两个不同的交点S，T．求
|PQ|
|ST|
的最大值及取得最大值时m的值．
已知点A、B、C是椭圆M：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上的三点，其中点A的坐标为(2
3
，0)，BC过椭圆M的中心，且
CA
•
CB
=0，2|
CA
|=|
CB
|．
（I）求椭圆M的方程；
（II）过点M(0，
3
2
)且不垂直于坐标轴的直线l与椭圆M交于两点E、F，设D为椭圆M与y轴负半轴的交点，且|
DE
|=|
DF
|，求直线l的方程．
设椭圆M：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）右顶点和上顶点分别为A，B，直线AB与直线y=-x相交于点P，若点P在抛物线y2=-ax上，则椭圆M的离心率等于
3
2
3
2
．
（2013•惠州模拟）（理科）设椭圆M：
x2
a2
+
y2
2
=1(a＞
2
)的右焦点为F1，直线l：x=
a2
a2-2
与x轴交于点A，若
OF1
+2
AF1
=0（其中O为坐标原点）
（1）求椭圆M的方程；
（2）设点P是椭圆M上的任意一点，线段EF为圆N：x2+（y-2）2=1的任意一条直径（E、F为直径的两个端点），求
PE
•
PF
的最大值．
平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）右焦点的直线x+y-
3
=0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为
1
2
．
（Ι）求M的方程
（Ⅱ）C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．

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