Question

平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）右焦点的直线x+y-

3

=0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为

1

2

．
（Ι）求M的方程
（Ⅱ）C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．

Answer 1

分析：（I）把右焦点（c，0）代入直线可解得c．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB的中点P（x₀，y₀），利用“点差法”即可得到a，b的关系式，再与a²=b²+c²联立即可得到a，b，c．
（II）由CD⊥AB，可设直线CD的方程为y=x+t，与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，即可得到弦长|CD|．把直线x+y-

3

=0与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，即可得到弦长|AB|，利用S_{四边形ACBD}=

1

2

|AB| |CD|即可得到关于t的表达式，利用二次函数的单调性即可得到其最大值．

解答：解：（I）把右焦点（c，0）代入直线x+y-

3

=0得c+0-

3

=0，解得c=

3

．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB的中点P（x₀，y₀），
则

x 2 1

a2

+

y 2 1

b2

=1，

x 2 2

a2

+

y 2 2

b2

=1，相减得

x 2 1 - x 2 2

a2

+

y 2 1 - y 2 2

b2

=0，
∴

x1+x2

a2

+

y1+y2

b2

×

y1-y2

x1-x2

=0，
∴

2x0

a2

+

2y0

b2

×(-1)=0，又kOP=

1

2

=

y0

x0

，
∴

1

a2

-

1

2b2

=0，即a²=2b²．
联立得

a2=2b2 a2=b2+c2 c= 3

，解得

b2=3 a2=6

，
∴M的方程为

x2

6

+

y2

3

=1．
（II）∵CD⊥AB，∴可设直线CD的方程为y=x+t，
联立

y=x+t x2 6 + y2 3 =1

，消去y得到3x²+4tx+2t²-6=0，
∵直线CD与椭圆有两个不同的交点，
∴△=16t²-12（2t²-6）=72-8t²＞0，解-3＜t＜3（*）．
设C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），∴x3+x4=-

4t

3

，x3x4=

2t2-6

3

．
∴|CD|=

(1+12)[(x3+x4)2-4x3x4]

=

2[(- 4t 3 )2-4× 2t2-6 3 ]

=

2 2 • 18-2t2

3

．
联立

x+y- 3 =0 x2 6 + y2 3 =1

得到3x²-4

3

x=0，解得x=0或

4

3

3

，
∴交点为A（0，

3

），(

4

3

3

，-

3

3

)，
∴|AB|=

( 4 3 3 -0)2+(- 3 3 - 3 )2

=

4 6

3

．
∴S_{四边形ACBD}=

1

2

|AB| |CD|=

1

2

×

4 6

3

×

2 2 • 18-2t2

3

=

8 3 • 18-2t2

9

，
∴当且仅当t=0时，四边形ACBD面积的最大值为

8

3

6

，满足（*）．
∴四边形ACBD面积的最大值为

8

3

6

．

点评：本题综合考查了椭圆的定义、标准方程及其性质、“点差法”、中点坐标公式、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到一元二次方程根与系数的关系、弦长公式、四边形的面积计算、二次函数的单调性等基础知识，考查了推理能力、数形结合的思想方法、计算能力、分析问题和解决问题的能力．