Question

【题目】如图，直线与椭圆交于两点，是椭圆右顶点，已知直线的斜率为，的外接圆半径为.

(1)求椭圆的方程；

(2)若椭圆上有两点，使的平分线垂直，且，求直线的方程.

Answer 1

【答案】(1)；(2)或.

【解析】

(1)设，，根据直线的斜率为，可得，再利用，即可得是直角三角形，从而可求出的长，再结合，可求出的长，进而求出及点的坐标，将的坐标代入椭圆的方程即可求出；

(2) 由(1)知，由的平分线垂直知直线与关于对称，因此可设的斜率为，则的斜率为，将直线分别与椭圆联立方程组，利用两根之积，求出的坐标，从而可求出直线的斜率，再利用弦长公式求出即可求出，进而求出直线的方程.

(1)连结，设，，所以直线的斜率，所以，

所以，由椭圆的对称性可知，所以，

所以，所以，所以是直角三角形，

故的外接圆半径，所以，

因为直线的方程为，所以直线的倾斜角，

所以，所以在中，，所以，

所以，所以，代入椭圆的方程可得，

所以，故椭圆方程为.

(2)由(1)知，由的平分线垂直知直线与关于对称，

设的斜率为，则的斜率为，，

与椭圆联立得，

所以，又，所以，

所以

所以，同理得，

所以，

由弦长公式得，解得或

不妨设在的左侧，

当时，，；

当时，，.

综上所述，或.