Question

6．已知x，y，z∈R⁺，求证：$\frac{x}{yz}$+$\frac{y}{zx}$+$\frac{z}{xy}$≥$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$+$\frac{1}{z}$．

Answer 1

分析 运用a²+b²≥2ab，由累加法和不等式的性质，即可得证．

解答 证明：由x²+y²≥2xy，
y²+z²≥2yz，
z²+x²≥2zx，
相加可得，x²+y²+z²≥xy+yz+zx，
由x，y，z∈R⁺，
两边同除以xyz，可得
$\frac{x}{yz}$+$\frac{y}{zx}$+$\frac{z}{xy}$≥$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$+$\frac{1}{z}$．
（当且仅当x=y=z取得等号）．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用基本不等式和累加法，考查不等式的性质，属于中档题．