Question

已知函数f（x）=（x²+bx+b）

1-2x

（b∈R）
（1）当b=4时，求f（x）的极值；
（2）若f（x）在区间（0，

1

3

）上单调递增，求b的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）把b=4代入函数解析式，求出函数的导函数，由导函数的零点对定义域分段，由导函数在各区间段内的符号判断原函数的单调性，从而求得极值；
（2）求出原函数的导函数，由导函数在区间（0，

1

3

）上大于等于0恒成立，得到b≤

2-5x

3

对任意x∈（0，

1

3

）恒成立．由单调性求出

2-5x

3

的范围得答案．

解答： 解：（1）当b=4时，f（x）=（x²+4x+4）

1-2x

=(x+2)2

1-2x

（x≤

1

2

），
则f′(x)=2(x+2)

1-2x

+(x+2)2•

1

2

(1-2x)-

1

2

•(-2)=

-5x(x+2)

1-2x

．
由f′（x）=0，得x=-2或x=0．
当x＜-2时，f′（x）＜0，f（x）在（-∞，-2）上为减函数．
当-2＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）在（-2，0）上为增函数．
当0＜x＜

1

2

时，f′（x）＜0，f（x）在（0，

1

2

）上为减函数．
∴当x=-2时，f（x）取极小值为0．
当x=0时，f（x）取极大值为4；

（2）由f（x）=（x²+bx+b）

1-2x

，得：
f′(x)=(2x+b)

1-2x

+(x2+bx+b)•

1

2

(1-2x)-

1

2

•(-2)
=

-5x2-3bx+2x

1-2x

．
由f（x）在区间（0，

1

3

）上单调递增，
得f′（x）≥0对任意x∈（0，

1

3

）恒成立．
即-5x²-3bx+2x≥0对任意x∈（0，

1

3

）恒成立．
∴b≤

2-5x

3

对任意x∈（0，

1

3

）恒成立．
∵

2-5x

3

＞

2-5× 1 3

3

=

1

9

．
∴b≤

1

9

．
∴b的取值范围是(-∞，

1

9

]．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的极值，考查了数学转化思想方法，是中档题．