Question

设函数.

（Ⅰ）当时，求函数的图象在点处的切线方程；

（Ⅱ）已知，若函数的图象总在直线的下方，求的取值范围；

（Ⅲ）记为函数的导函数．若，试问：在区间上是否存在（）个正数…，使得成立？请证明你的结论.

Answer 1

解：（Ⅰ）当时，，，，

所以切线的斜率为.…………………………………………2分

      又，所以切点为.

      故所求的切线方程为：即.………………………………4分

（Ⅱ），，.………………………6分

令，则.当时，；当时，.

故为函数的唯一极大值点，所以的最大值为=.8分

由题意有，解得. 所以的取值范围为.……………………10分

（Ⅲ）当时，.     记，其中.

∵当时，，∴在上为增函数，

即在上为增函数. …………………………………………12分

又，所以，对任意的，总有.

所以，

又因为，所以.故在区间上不存在使得成立的（）个正数…. …………14分