Question

【题目】如图，在直三棱柱（侧棱垂直于底面）中，，，，.

（1）证明：平面；

（2）若是的中点，在线段上是否存在一点使平面？若存在，请确定点的位置；若不存在，也请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）为的中点.

【解析】

（1）由几何体的结构特征和线面垂直的判定定理，证得平面，得到，进而得到，再由四边形为正方形，所以，最后利用线面垂直的判定定理，即可证得平面.

（2）取的中点，分别连接，，，利用几何体的结构特征和线面平行的判定和性质，即可求解.

（1）由题意，三棱柱为直三棱柱，所以，

又因为，，平面，平面，

所以平面，

又因为平面，所以，

又因为，所以，

在中，，，，所以，

又因为，所以四边形为正方形，所以.

因为，平面，平面，

所以平面.

（2）当点为的中点时，平面.

证明如下：取的中点，分别连接，，，

所以，分别为，的中点，所以，

又因为平面，平面，所以平面，

因为，分别是直三棱柱侧棱，的中点，所以，

又因为平面，平面，所以平面，

又∵，平面，平面，所以平面平面.

又因为平面，所以平面.