Question

【题目】如图所示，球的表面积为，球心为空间直角坐标系的原点，且球分别与轴的正交半轴交于三点，已知球面上一点.

（1）求两点在球上的球面距离；

（2）过点作平面的垂线，垂足，求的坐标，并计算四面体的体积；

（3）求平面与平面所成锐二面角的大小.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】分析：（1）根据题意求出，即可得到两点在球上的球面距离；

（2）根据题意，可证与重合，利用向量可求，求出的面积，即可得到四面体的体积；

（3）利用空间向量可求面与平面所成锐二面角的大小..

详解：

（1），

，，

∴

∴，

∴，

两点在球上的球面距离；

（2），

面，，

，

∴，

∴，

∴与重合，

∴，

的面积，

则四面体的体积.

（3）设平面的法向量，

得得

平面的法向量，

设两法向量夹角，，

所以所成锐二面角的大小为.