Question

【题目】已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx，（a∈R）． （Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在（0， ）上无零点，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x﹣1﹣2lnx，则f′（x）=1﹣ ， 由f′（x）＞0，得x＞2，由f′（x）＜0，得0＜x＜2，
故f（x）的单调减区间为（0，2]，单调增区间为[2，+∞）；
（Ⅱ）因为f（x）＜0在区间（0， ）上恒成立不可能，
故要使函数f（x）在（0， ）上无零点，
只要对任意的x∈（0， ），f（x）＞0恒成立，
即对x∈（0， ），a＞2﹣ 恒成立．
令h（x）=2﹣ ，x∈（0， ），
则h′（x）= ，
再令m（x）=2lnx+ ﹣2，x∈（0， ），
则m′（x）= ＜0，
故m（x）在（0， ）上为减函数，
于是，m（x）＞m（ ）=4﹣3ln3＞0，
从而h（x）＞0，于是h（x）在（0， ）上为增函数，
所以h（x）＜h（ ）=2﹣3ln3，
∴a的取值范围为[2﹣3ln3，+∞）
【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）问题转化为x∈（0， ），a＞2﹣ 恒成立，令h（x）=2﹣ ，x∈（0， ），根据函数的单调性求出h（x）的最大值，从而求出a的范围即可．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用利用导数研究函数的单调性的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．