Question

已知复数z₂=2cosθ+（λ+3sinθ）i，z₁=m+（4-m²）i（m∈R），（λ，θ∈R）并且z₁=z₂，则λ的取值范围

 

．

Answer 1

考点：复数代数形式的乘除运算

专题：计算题,数系的扩充和复数

分析：由z₁=z₂，得

2cosθ=m λ+3sinθ=4-m2

，消掉m得λ=4-4cos²θ-3sinθ=4sin²θ-3sinθ，借助二次函数的性质可求λ的取值范围．

解答： 解：∵z₁=z₂，
∴

2cosθ=m λ+3sinθ=4-m2

，消掉m，得
λ=4-4cos²θ-3sinθ=4sin²θ-3sinθ=4(sinθ-

3

8

)2-

9

16

，
又-1≤sinθ≤1，
∴sinθ=

3

8

时，λ_min=-

9

16

；sinθ=-1时，λ_max=7．
∴λ的取值范围是[-

9

16

，7]，
故答案为：[-

9

16

，7]．

点评：该题考查复数相等的充要条件、三角恒等变换及二次函数的性质等知识，属基础题．