题目内容
16．已知函数f（x）=x3-ax2+b，曲线y=f（x）在点（2，4）处的切线方程为4x-y-4=0．（Ⅰ）求a，b 的值；
（Ⅱ）求函数f（x）在[-1，3]上的最大值．
分析 （Ⅰ）求出函数的导数，通过计算f（2），f′（2）的值，得到关于a，b的方程组，求出a，b的值即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，解费用导函数的方程，求出函数的单调区间，从而求出f（x）在[-1，3]的最大值即可．
解答 解：（I）f′（x）=3x2-2ax．…（2分）
由已知有$\left\{\begin{array}{l}{f（2）=4}\\{f′（2）=4}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{8-4a+b=4}\\{12-4a=4}\end{array}\right.$…（4分）
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=4}\end{array}\right.$…（5分）
（II）由（Ⅰ）得：f（x）=x3-2x2+4，f′（x）=3x2-4x．
令f′（x）=0，解得：x=0或x=$\frac{4}{3}$…（8分）
| x | -1 | （-1，0） | 0 | （0，$\frac{4}{3}$） | $\frac{4}{3}$ | （$\frac{4}{3}$，3） | 3 |
| f′（x） | + | 0 | - | 0 | + | ||
| f（x） | 1 | 增函数 | 极大值4 | 减函数 | 极小值$\frac{76}{27}$ | 增函数 | 13 |
由表可知，当x∈[-1，3]时，f（x）最大值为f（3）=13．…（12分）
点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．
练习册系列答案
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