Question

如图三棱锥P－ABC中，PA＝a，AB＝AC＝2a，∠PAB＝∠PAC＝∠BAC＝60°，求三棱锥P－ABC的体积．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：过点P作PO⊥平面ABC于点O，∵∠PAB＝∠PAC＝∠BAC＝60° 　　∴AO平分∠BAC 　　∴cos∠PAO＝＝，∴sin∠PAO＝＝ 　　∴PO＝asin∠PAO＝a 　　∴V棱锥＝××2a×2asin60°×a＝a3 　　解法二：取AB、AC中点M、N的连结PM、PN 　　∵PA＝a，AB＝AC＝2a，∠PAB＝∠PAC＝∠BAC＝60° 　　∴三棱锥P－AMN为棱长为a的正四面体，且SΔAMN＝SΔABC 　　∴VP－AMN＝VP－ABC，而VP－AMN＝a3 　　∴VP－ABC＝4VP－AMN＝a3 　　解法三：在ΔPAB中，PA＝a，AB＝2a 　　又∠PAB＝60°，∴∠APB＝90° 　　同理∠APC＝90°∴AP⊥平面PBC 　　又SΔPBC＝a2∴VP－ABC＝VA－PBC＝·a2·a＝a3． 　　解法一点评：这种方法叫直接法，就是利用锥体的体积公式直接计算，这是一种常规方法，必须掌握． 　　解法二点评：此法是根据棱长与含有60°角的三角形的关系，把锥体截成棱长相等的三棱锥，然后根据小锥体的体积与原棱锥的体积关系，求原棱锥的体积．