Question

如图三棱锥P-ABC中，△PAC，△ABC是等边三角形．
（Ⅰ）求证：PB⊥AC；
（Ⅱ）若二面角P-AC-B的大小为45°，求PA与平面ABC所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（I）取AC的中点D，连接PD，BD，由等边三角形三线合一，可得AC⊥PD，AC⊥BD，进而由线面垂直的判定定理可得AC⊥平面PBD，进而可得PB⊥AC；
（Ⅱ）由（I）及条件知，二面角P-AC-B的平面角，过点P作PE⊥BD，可得∠PAE为PA与平面ABC所成角，解三角形PAE可得PA与平面ABC所成角的正弦值．

解答：证明：（I）取AC的中点D，连接PD，BD．…（2分）
∵△PAC，△ABC是等边三角形，
∴AC⊥PD，AC⊥BD，…（4分）
又PD∩BD=D，PD，BD?平面PBD
∴AC⊥平面PBD，
又∵PB?平面PBD，
∴PB⊥AC…（6分）
（II）由（I）及条件知，
二面角P-AC-B的平面角为∠PDB=45°，…（8分）
过点P作PE⊥BD，由（I）知AC⊥面PBD，
∴AC⊥PE，又AC∩BD=D，
∴PE⊥面ABC，…（10分）
∴∠PAE为PA与平面ABC所成角，…（11分）
令AC=2，
则PA=2，PD=

3

，
PE=PD•sin∠PDB=

6

2

，
∴sin∠PAE=

PE

PA

=

6 2

2

6

4

．…（14分）

点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，直线与平面垂直的性质，二面角的平面角，解答（I）的关键是熟练掌握空间线线垂直，线面垂直的相互转化，解答（II）的关键是构造出二面角的平面角及线面夹角．