Question

【题目】已知椭圆的长半轴为，短半轴为.椭圆的两个焦点分别为，，离心率为方程的一根，长半轴为，短半轴为.若，.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）如图，过椭圆上且位于轴左侧的一点作圆的两条切线，分别交轴于点、．试推断是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】（Ⅰ）由可得椭圆的离心率为，故解得，.所以，所以椭圆的方程为. ．．．．．．．．．．．．．．．4分

（Ⅱ）设点（），，，则直线的方程为，即，因为圆心到直线的距离为，即，即，即，同理．由此可知，，为方程的两个实根，所以，， ．因为点在椭圆上，所以，即，则，令，则，因为，所以，，即，

故存在点满足题设条件．……12分

【命题意图】本题考查椭圆的标准方程，圆的切线问题等基础知识，意在考查转化与化归能力，综合分析问题和解决问题的能力，及基本运算能力．