Question

5．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n²+n
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}的前n项和为T_n．

Answer 1

分析 （1）当n≥2时，则a_n=S_n-S_n-1=2n，当n=1时，a₁=S₁=2，成立，即可求得求数列{a_n}的通项公式；
（2）由$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{2n}{{2}^{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，利用“错位相减法”即可求得T_n．

解答 解：（1）由S_n=n²+n，
当n≥2时，则S_n-1=（n-1）²+（n-1），
则a_n=S_n-S_n-1=2n，
当n=1时，a₁=S₁=2，成立，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=2n；
（2）由$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{2n}{{2}^{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}的前n项和为T_n，T_n=$\frac{1}{{2}^{0}}$+$\frac{2}{2}$+$\frac{3}{{2}^{2}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，
则$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n-1}}$+$\frac{n}{{2}^{n}}$，
两式相减得：$\frac{1}{2}$T_n=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}$T_n=1+$\frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{{2}^{n-1}}×\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$，
=$\frac{{2}^{n+1}-n-2}{{2}^{n}}$，
∴T_n=$\frac{{2}^{n+1}-n-2}{{2}^{n-1}}$，
数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}的前n项和为T_n，T_n=$\frac{{2}^{n+1}-n-2}{{2}^{n-1}}$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查“错位相减法”求数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题．