Question

已知函数f(x)＝(ax²＋x－1)e^x其中e是自然对数的底数a∈R.

(1)若a＝1，求曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；

(2)若a<0，求f(x)的单调区间；

(3)若a＝－1，函数f(x)的图象与函数g(x)＝x³＋x²＋m的图象有3个不同的交点，求实数m的取值范围．

Answer 1

 (1)a＝1时，f(x)＝(x²＋x－1)e^x，

所以f′(x)＝(2x＋1)e^x＋(x²＋x－1)e^x＝(x²＋3x)e^x，

所以曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为k＝f′(1)＝4e.

又因为f(1)＝e，

所以所求切线方程为y－e＝4e(x－1)，即4ex－y－3e＝0.

(2)f′(x)＝(2ax＋1)e^x＋(ax²＋x－1)e^x＝[ax²＋(2a＋1)x]e^x，

①若－<a<0，当x<0或x>－时，f′(x)<0；

当0<x<－时，f′(x)>0.

所以f(x)的单调递减区间为(－∞，0]，[－，＋∞)；单调递增区间为[0，－]．

②若a＝－，则f′(x)＝－x²e^x≤0，所以f(x)的单调递减区间为(－∞，＋∞)．

③若a<－，当x<－或x>0时，f′(x)<0；

当－<x<0时，f′(x)>0.