Question

已知双曲线

x2

8

-

y2

4

=1的左焦点为F，△ABC的三个顶点均在其左支上，若

FA

+

FE

+

FC

=

0

，则|

FA

|+|

FE

|+|

FC

|=

 

．

Answer 1

分析：求出焦点坐标和左准线方程，根据F 为△ABC的重心，可得x₁+x₂+x₃=-6

3

，由双曲线的第二定义可得
|

FA

|+|

FE

|+|

FC

|=e[（-

a2

c

-x1 ）+（-

a2

c

-x2 ）+（-

a2

c

-x3）]，由此求得结果．

解答：解：由题意可得 F（-2

3

，0），左准线为 x=-

4

3

，e=

3

2

，设△ABC的三个顶点的坐标分别为
（x₁，y₁），（x₂，y₂），（x₃，y₃ ）．∵

FA

+

FB

+

FC

=0，∴F 为△ABC的重心，
∴

-2 3 =  x1+x2+x3 3 0= y1+y2+y3 3

，∴x₁+x₂+x₃=-6

3

，由双曲线的第二定义可得
|

FA

|+|

FE

|+|

FC

|=e[（-

a2

c

-x1 ）+（-

a2

c

-x2 ）+（-

a2

c

-x3）]=

3

2

[-

12

3

-（x₁+x₂+x₃）]
=2

3

，
故答案为：2

3

．

点评：本题考查双曲线的定义和标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，得到|

FA

|+|

FE

|+|

FC

|=
e[（-

a2

c

-x1 ）+（-

a2

c

-x2 ）+（-

a2

c

-x3）]，是解题的关键．