Question

已知双曲线

x2

8

-

y2

24

=1的准线过椭圆

x2

8

+

y2

b2

=1的焦点，则直线y=kx+3与椭圆至少有一个交点的充要条件为（　　）

• A、k∈（-∞，-

  6

  4

  ]∪[

  6

  4

  ，+∞）
• B、k∈[-

  6

  4

  ，

  6

  4

  ]
• C、k∈（-∞，-

  2

  3

  ]∪[

  2

  3

  ，+∞）
• D、k∈[-

  2

  3

  ，

  2

  3

  ]

Answer 1

分析：写出双曲线的准线得到椭圆的焦点，得到b的值，写出椭圆的标准方程，联立直线与椭圆的方程，得到关于x的一元二次方程，根据直线y=kx+3与椭圆至少有一个交点，得到△≥0，求出结果．

解答：解：双曲线

x2

8

-

y2

24

=1的准线为x=±

8

8+24

=±

2

，
椭圆

x2

8

+

y2

b2

=1的半焦距c=

2

，于是8=b²+2，b=

6

，
所以椭圆方程为

x2

8

+

y2

6

=1．
联立方程，得

y=kx+3l 3x2+4y2=24

消y得：3x²+4（kx+3）²=24，
整理得（3+4k²）x²+24kx+12=0，
要使直线y=kx+3与椭圆至少有一个交点，则有△≥0．
即：（24k）²-4×（3+4k²）×12≥0，12k²-3-4k²≥0，k2≥

3

8

，k≥

6

4

或k≤-

6

4

．
故选A．

点评：本题考查双曲线的几何性质和直线与椭圆的交点个数问题，本题解题的关键是写出椭圆的标准方程，方程联立，根据一元二次方程的根的判别式得到结果．