Question

经过双曲线x2-

y2

3

=1的左焦点F₁作倾斜角为

π

6

的弦AB．
（1）求|AB|；
（2）求△F₂AB的周长（F₂为右焦点）．

Answer 1

分析：（1）求出双曲线的焦点坐标，求出直线的斜率，利用点斜式求出直线方程；将直线的方程代入双曲线的方程，利用两点的距离公式求出|AB|．
（2）利用焦半径公式求出|F₂A|，|F₂B|，利用韦达定理求出|F₂A|，|F₂B|的和，求出三角形的周长．

解答：解：（1）双曲线的左焦点为F₁（-2，0），直线AB的斜率k=tan

π

6

=

3

3

，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则直线AB：y=

3

3

（x+2），
代入3x²-y²-3=0整理得8x²-4x-13=0
∴x₁+x₂=

1

2

，x₁x₂=-

13

8

，
∴|x₁-x₂|=

3 3

2

，
∴|AB|=

1+ 1 3

|x₁-x₂|=3；
（2）|F₂A|=2x₁-1，|F₂B|=1-2x₂
∴|F₂A|+|F₂B|=2（x₁-x₂）=3

3

，
∴△F₂AB的周长为3+3

3

．

点评：本题考查直线与双曲线的位置关系，考查弦长公式的运用，考查三角形的周长，属于中档题．