Question

如图，正三棱柱中，，是侧棱的中点.

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）求二面角的大小.

 

Answer 1

【答案】

解：方法一：

（Ⅰ）证明：设是的中点，连接、.

在正三棱柱中，，平面，

∴是在面上的射影.

易知≌，.

又，

∴，，

∴.                 ………………………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面，作，垂足为，连结，

则为二面角的平面角.

不妨设，则，，

在中，，

∴. ………………12分

方法二：

（Ⅰ）在正三棱柱中，以的中点为原点，建立空间直角坐标系如图.

不妨设，则

，，，，

∴，，

∵.

∴．………………………6分

（Ⅱ）在空间直角坐标系中，

易知平面的一个法向量为.

设平面的法向量为，

易知，.

由得，取得．

，

∴二面角的的大小为．………………………………………12分

【解析】略