题目内容

设an是(2-
x
)n的展开式中x项的系数（n=2，3，4，…），则极限
lim
n→∞
(
22
a2
+
23
a3
+…+
2n
an
)=
 
．
分析：根据已知条件求出 an=n（n-1）2n-3，用裂项法求
22
a2
+
23
a3
+…+
2n
an
的和，再用数列极限的运算法则求得
lim
n→∞
(
22
a2
+
23
a3
+…+
2n
an
) 的运算结果．
解答：解：(2-
x
)n的展开式通项公式Tr+1=
C
r
n
2n-r(-
x
)r，令r=2 可得
T3=Cn22n-2x，∴an =Cn22n-2=n（n-1）2n-3．
∴
22
a2
+
23
a3
+…+
2n
an
=
23
1×2
+
23
2×3
+…+
23
(n-1)n
 
=23 （1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+…
1
n-1
-
1
n
 ）=8×（1-
1
n
）．
∴
lim
n→∞
(
22
a2
+
23
a3
+…+
2n
an
)=
lim
n→∞
8× (1-
1
n
)=8，
故答案为：8．
点评：本题考查求展开式中某项的系数，用裂项法进行数列求和，数列极限的运算法则的应用，属于难题．
练习册系列答案
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（2011•邢台一模）设an是(3-
x
)n的展开式中x项的系数（n=2、3、4、…），则
lim
n→∞
(
32
a2
+
33
a3
+…+
3n
an
)=
18
18
．
（2008•崇明县二模）设an是(3-
x
)n（n=2，3，4，5，…）展开式中x一次项系数，则
lim
n→∞
(
32
a2
+
33
a3
+
34
a4
+…+
3n
an
)=
18
18
．
设an是(1+
x
)n的展开式中x项的系数（n=2，3，4，…），则
lim
n→∞
(
1
a2
+
1
a3
+…+
1
an
)=
2
2
．
设an是(3-
x
)n(n∈N*且n≥2)的展开式中x的系数，则
lim
n→∞
(
32
a2
+
33
a3
+…+
3n
an
)=
18
18
．

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