题目内容
设an是(1+
)n的展开式中x项的系数（n=2，3，4，…），则
(
+
+…+
)=
| x |
| lim |
| n→∞ |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| a3 |
| 1 |
| an |
2
2
．分析：由题意可知：an=
=
，故
=
=2（
-
），于是
+
+…+
=2[（1-
）+（
-
）+…+（
-
）]，
(
+
+…+
)的值可求．
| C | 2 n |
| n(n+1) |
| 2 |
| 1 |
| an |
| 2 |
| n(n+1) |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n+1 |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| a3 |
| 1 |
| an |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n+1 |
| lim |
| n→∞ |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| a3 |
| 1 |
| an |
解答：解：∵an是(1+
)n的展开式中x项的系数（n=2，3，4，…），
∴an=
=
，
∴
=
=2（
-
），
∴是
+
+…+
=2[（1-
）+（
-
）+…+（
-
）]=2（1-
），
∴
(
+
+…+
)=
2(1-
)=2．
故答案为：2．
| x |
∴an=
| C | 2 n |
| n(n+1) |
| 2 |
∴
| 1 |
| an |
| 2 |
| n(n+1) |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n+1 |
∴是
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| a3 |
| 1 |
| an |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n+1 |
| 1 |
| n+1 |
∴
| lim |
| n→∞ |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| a3 |
| 1 |
| an |
| lim |
| n→∞ |
| 1 |
| n+1 |
故答案为：2．
点评：本题考查二项式定理的应用及极限及其运算，着重考查裂项法求和及极限求值，属于中档题．
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