Question

已知log₂a+log₂b=0，则

b

1+a2

+

a

1+b2

的最小值为（　　）

A．4

B．3

C．2

D．1

Answer 1

分析：把条件转化为ab=1，把要求的式子化为

2(a2+b2)

2(a+b)

，两次利用基本不等式求出它的最小值．

解答：解：把条件log₂a+log₂b=0，转化为ab=1，
∴

b

1+a2

+

a

1+b2

=

b2

b+a2b

+

a2

a+ab2

=

b2

b+a

+

a2

a+b

 
=

a2+b2

a+b

=

2(a2+b2)

2(a+b)

≥

a2+b2+2ab

2(a+b)

=

(a+b)2

2(a+b)

=

a+b

2

≥

ab

=1，
当且仅当a=b时取等号．
则

b

1+a2

+

a

1+b2

的最小值为1．
故选D．

点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．式子的变形是解题的关键，解题的时候注意两次基本不等式等号成立的条件要同时成立．