Question

1．甲、乙、丙三人进行射击比赛，在一轮比赛中，甲、乙丙各射击一发子弹，根据以往统计资料知，甲击中9环、10环的概率分别为0.3、0.2，乙中击中9环、10环的概率分别为0.4、0.3，丙击中9环、10环的概率分别为0.6、0.4，设甲、乙、丙射击相互独立，求：
（1）丙击中的环数不超过甲击中的环数的概率；
（2）求在一轮比赛中，甲、乙击中的环数都没有超过丙击中的环数的概率．

Answer 1

分析 （1）记在一轮比赛中“丙击中的环数不超过甲击中的环数”为事件A，A包括“丙击中9环且甲击中9或10环”、“丙击中10环且甲击中10环”两个互斥事件，由此能求出丙击中的环数不超过甲击中的环数的概率．
（2）记在一轮比赛中，“甲击中的环数超过丙击中的环数”为事件B，“乙击中的环数超过丙击中的环数”为事件C，则B与C相互独立．由此能求出在一轮比赛中，甲、乙击中的环数都没有超过丙击中的环数的概率．

解答 解：已知甲击中9环、10环的概率分别为0.3、0.2，则甲击中8环及其以下环数的概率是0.5，
乙击中9环、10环的概率分别为0.4、0.3，则乙击中8环及其以下环数的概率是0.3，
丙击中9环、10环的概率分别为0.6、0.4，0.6+0.4=1，则丙击中8环及其以下环数是不可能事件．
（1）记在一轮比赛中“丙击中的环数不超过甲击中的环数”为事件A，
A包括“丙击中9环且甲击中9或10环”、“丙击中10环且甲击中10环”两个互斥事件，
则丙击中的环数不超过甲击中的环数的概率P（A）=0.6（0.3+0.2）+0.4×0.2=0.38．
（2）记在一轮比赛中，“甲击中的环数超过丙击中的环数”为事件B，
“乙击中的环数超过丙击中的环数”为事件C，
则B与C相互独立，且P（B）=0.2×0.6=0.12，P（C）=0.3×0.6=0.18．
所以在一轮比赛中，甲、乙击中的环数都没有超过丙击中的环数的概率为：
P（$\overline{B}$）P（$\overline{C}$）=[1-P（B）][1-P（C）]
=0.88×0.82=0.7216．

点评 本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意互斥事件的概率和对立事件的概率的计算公式的合理运用．