题目内容
【题目】设
，对于项数为
的有穷数列
，令
为
中最大值，称数列
为数列的“创新数列”.例如数列3，5，4，7的创新数列为3，5，5，7. 考查正整数1，2，…，
的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列
.
（1）若
，写出创新数列为3，4，4，4的所有数列；
（2）是否存在数列的创新数列为等比数列？若存在，求出符合条件的的创新数列；若不存在，请说明理由.
（3）是否存在数列，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出满足所有条件的数列的个数；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）3，4，1，2和3，4，2，1，（2）存在，
，（3）有
个
【解析】
（1）先阅读题意，再求出数列
即可得解；
（2）先假设存在数列的创新数列为等比数列，再由创新数列的定义求解即可；
（3）先假设存在数列的创新数列为等差数列，再由创新数列的定义分类讨论等差数列的公差求解即可.
解：（1）由题意可得：第一个数为3，第二个数为4，第三个与第四个数分别为1与2的排列即可，即数列有两个：3，4，1，2和3，4，2，1；
（2）存在数列的创新数列为等比数列，
理由如下：
设数列的创新数列为
，
若为等比数列，设公比是
，因为
，所以
，
当
时，为常数列，满足条件，即创新数列为；
当
时，为增数列，符合条件的数列只有1，2，
，
又1，2，，不是等比数列；
综上可得符合条件的创新数列只有一个；
（3）存在数列，使它的创新数列为等差数列，
理由如下：
若为等差数列，设公差是
，因为，
所以
且
，
当
时，为常数列，满足条件，即创新数列为；
此时数列是首项为
的任意一个排列，共有
个排列，
当
时，为增数列，符合条件的数列只有1，2，，
此时数列是1，2，，只有一个；
当
时，
与
矛盾，此时不存在；
所以满足条件的数列的个数为个.
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