Question

6．已知直线y=x+m，圆x²+y²=4．
（1）若直线与圆相切，求m的值；
（2）当m=2时，直线与圆交于A，B两点，求弦AB的长．

Answer 1

分析 （1）根据直线与圆相切，圆心到直线的距离d=r，即可求出m的值；
（2）利用圆心到直线的距离d与半径r和弦AB的一半组成直角三角形，由勾股定理即可求出弦长AB．

解答 解：（1）直线y=x+m，
圆x²+y²=4的圆心为O（0，0），半径为r=2；
若直线与圆相切，则圆心O到直线x-y+m=0的距离为d=r，
即$\frac{|m|}{\sqrt{2}}$=2，
解得m=±2$\sqrt{2}$；
（2）当m=2时，直线y=x+2，
所以圆x²+y²=4的圆心O到直线x-y+2=0的距离为
d=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，且半径r=2，
所以弦AB的长2$\sqrt{{r}^{2}{-d}^{2}}$=2×$\sqrt{{2}^{2}{-（\sqrt{2}）}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了直线与圆相切以及直线与圆相交的应用问题，也考查了点到直线的距离与勾股定理的应用问题，是基础题目．