Question

16．下列条件能判断△ABC一定为钝角三角形的是①②
①sinA+cosA=$\frac{1}{5}$
②$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$＞0
③b=3，c=3$\sqrt{3}$，B=30°  
④tanA+tanB+tanC＞0．

Answer 1

分析 把已知等式两边平方判断①；展开平面向量数量积判断②；利用正弦定理求得角C判断③；利用三角恒等变换变形判断④．

解答 解：对于①，由sinA+cosA=$\frac{1}{5}$，两边平方得，2sinAcosA=-$\frac{24}{25}$，∴A为钝角，
故①能判断△ABC一定为钝角三角形；
对于②，由$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$＞0，如图，

可得ac•cos（π-B）=-ac•cosB＞0，则cosB＜0，
∴B为钝角，故②能判断△ABC一定为钝角三角形；
③由b=3，c=3$\sqrt{3}$，B=30°，得$\frac{3}{sin30°}=\frac{3\sqrt{3}}{sinC}$，得sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
则C=60°或C=120°，当C=60°时，△ABC为直角三角形；
④∵tanA+tanB=tan（A+B）（1-tanAtanB），
∴tanA+tanB+tanC=tan（A+B）（1-tanAtanB）+tanC=tanAtanBtanC＞0，
∴A，B，C是△ABC的内角，故内角都是锐角，△ABC为锐角三角形．
故答案为：①②．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查了三角形的求解方法，是中档题．