Question

16．函数f（x）=|sinx+2cosx|+|2sinx-cosx|的最小正周期为（　　）

• A． 2π
• B． π
• C． $\frac{π}{2}$
• D． $\frac{π}{4}$

Answer 1

分析 由题意，不难发现sinx和cosx相互置换后结果不变．根据诱导公式化简可得周期．

解答 解：由f（x）的表达式可知，sinx和cosx相互置换后结果不变．
∴f（x+$\frac{π}{2}$）=|sin（x+$\frac{π}{2}$）+2cos（x+$\frac{π}{2}$）|+|2sin（x+$\frac{π}{2}$）-cos（x+$\frac{π}{2}$）|=|cosx-2sinx|+|2cosx+sinx|=f（x）；
可见$\frac{π}{2}$为f（x）的周期，
下面证明$\frac{π}{2}$是f（x）的最小正周期．
考察区间[0，$\frac{π}{2}$]，当0≤x≤$\frac{π}{4}$时，f（x）=2cosx，f（x）单调递减，f（x）由2单调递减至$\sqrt{2}$；
当$\frac{π}{4}$≤x≤$\frac{π}{2}$时，f（x）=2sinx，f（x）单调递增，f（x）由$\sqrt{2}$单调递增至2；
由此可见，在[0，$\frac{π}{2}$]内不存在小于$\frac{π}{2}$的周期，由周期性可知在任何长度为$\frac{π}{2}$的区间内均不存在小于$\frac{π}{2}$的周期；所以$\frac{π}{2}$即为f（x）的最小正周期，
故选C

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，属于基础题．