Question

【题目】已知函数，.

（1）当为何值时，轴为曲线的切线；

（2）用表示、中的最大值，设函数，当时，讨论零点的个数.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析.

【解析】

（1）设切点坐标为，然后根据可解得实数的值；

（2）令，，然后对实数进行分类讨论，结合和的符号来确定函数的零点个数.

（1），，

设曲线与轴相切于点，则，

即，解得.

所以，当时，轴为曲线的切线；

（2）令，，

则，，由，得.

当时，，此时，函数为增函数；当时，，此时，函数为减函数.

，.

①当，即当时，函数有一个零点；

②当，即当时，函数有两个零点；

③当，即当时，函数有三个零点；

④当，即当时，函数有两个零点；

⑤当，即当时，函数只有一个零点.

综上所述，当或时，函数只有一个零点；

当或时，函数有两个零点；

当时，函数有三个零点.