Question

（本题满分13分）
设点P是圆x² +y² =4上任意一点，由点P向x轴作垂线PP₀，垂足为P_o，且．
（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设直线：y=kx+m(m≠0)与（Ⅰ）中的轨迹C交于不同的两点A，B．
（1）若直线OA，AB，OB的斜率成等比数列，求实数m的取值范围；
（2）若以AB为直径的圆过曲线C与x轴正半轴的交点Q，求证：直线过定点(Q点除外)，并求出该定点的坐标．

Answer 1

（Ⅰ）.（Ⅱ）（i）.（ii）直线过定点.

试题分析：（Ⅰ）设点，，则由题意知.
由，，且，
得.
所以于是
又，所以.
所以，点M的轨迹C的方程为.……………………（3分）
（Ⅱ）设， .
联立
得.       
所以，，即.    ①
且       ………………………………（5分）
（i）依题意，，即.
.
，即.
，，解得.
将代入①，得.
所以，的取值范围是.   ……………………（8分）
（ii）曲线与轴正半轴的交点为.
依题意，， 即.
于是.
，即，
.
化简，得.
解得，或，且均满足.
当时，直线的方程为，直线过定点(舍去)；
当时，直线的方程为，直线过定点.
所以，直线过定点.   ………………………………（13分）
点评：求曲线的轨迹方程是解析几何的基本问题，本题利用相关点法求轨迹方程，相关点法 根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程．本题较难。