Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，点P在双曲线的右支上，且|PF₁|=3|PF₂|．?
（1）求离心率的最值，并写出此时双曲线的渐近线方程．?
（2）若点P的坐标为（

4 10

5

，±

3 10

5

）时，

PF1

•

PF2

=0，求双曲线方程．

Answer 1

分析：（1）根据双曲线的定义结合|PF₁|=3|PF₂|，解得|PF₁|=3a，|PF₂|=a．由圆锥曲线统一定义，求得x₀=

2a2

c

，根据P在双曲线的右支得

2a2

c

≥a，解得1＜e≤2，由此可得离心率e的最大值为2，不难算出因此的渐近线方程为y=±

3

x；
（2）将

PF1

•

PF2

=0转化为关于x₀、y₀和c的表达式，化简整理得c²=x₀²+y₀²=10，结合|PF₂|=a和x₀=

2a2

c

，联解可得a²=4，从而b²=c²-a²=6，得双曲线方程为

x2

4

-

y2

6

=1，由此易得P的坐标为（

4 10

5

，±

3 10

5

）．

解答：解：（1）根据双曲线的定义，得|PF₁|-|PF₂|=2a
∵|PF₁|=3|PF₂|，∴|PF₁|=3a，|PF₂|=a
设F₁（-c，0），F₂（c，0），P（x₀，y₀），
双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的左准线方程为：x=-

a2

c

，
由圆锥曲线统一定义，得

|PF1|

x0+ a2 c

=e，∴3a=ex₀+a，得x₀=

2a2

c

∵P在双曲线的右支，∴x₀≥a即

2a2

c

≥a，解得1＜e≤2
∴离心率e的最大值为2，此时

c

a

=2，得b=

c2-a2

=

3

a
因此，双曲线的渐近线方程为y=±

3

x
（2）

PF1

=（-c-x₀，-y₀），

PF2

=（c-x₀，-y₀）
∵

PF1

•

PF2

=0，
∴-（c²-x₀²）+y₀²=0，可得c²=x₀²+y₀²=10…（*）
∵|PF₂|=

(c-x0)2+y02

=a，
∴（c-x₀）²+y₀²=a²，
代入（*）式和x₀=

2a2

c

，可得a²=20-2cx₀=20-4a²，解之得a²=4
∴b²=c²-a²=6，得双曲线方程为

x2

4

-

y2

6

=1
此时x₀=

2a2

c

=

4 10

5

，y₀=±

3 10

5

所以当点P的坐标为（

4 10

5

，±

3 10

5

）时

PF1

•

PF2

=0，且此时的双曲线方程为

x2

4

-

y2

6

=1．

点评：本题给出双曲线线

x2

a2

-

y2

b2

=1的右支上点P满足|PF₁|=3|PF₂|，求双曲线离心率的最大值，并求PF₁⊥PF₂时的双曲线方程，着重考查了双曲线的标准方程、简单几何性质和向量数量积的坐标运算等知识，属于中档题．