题目内容
【题目】已知函数
.
（1）讨论
的单调性；
（2）若
有两个极值点
，且
，证明： 
.
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】试题分析：（1）先求导数，再研究二次方程
：无根以及两个等根或两个负根时导函数不变号，为单调递增；当两个不等正根时，有三个单调区间，（2）由极值定义得
， 
，则化简
为一元函数： 
，最后根据导数确定其单调性，得其最大值小于
.
试题解析：（1）
， 
所以
（1）当
时， 
，所以
在
上单调递增
（2）当
时，令
，
当
即
时， 
恒成立，即
恒成立
所以
在
上单调递增
当
，即
时，
，两根
所以
， 
， 
, 
故当
时， 
在
上单调递增
当
时， 
在
和
上单调递增
在
上单调递减.
（2）
由（1）知
时， 
上单调递增，此时
无极值
当
时， 
由
得
，设两根
，则
， 
其中
在
上递增，在
上递减，在
上递增
令
，所以
在
上单调递减，且
故
.
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