Question

【题目】已知函数f（x）=（x∈R），a为正实数.

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）若对，不等式恒成立，求正实数a的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）增区间为[0，3]；（2）

【解析】

（1）对函数求导，分别令f′（x）＞0， f′（x）＜0，即可解得函数的单调区间。

（2）不等式|f（x1）﹣f（x2）|＜1恒成立，转化为在上，即求在上的最大值与最小值，结合（1）的单调性，即可求解。

（1）因为f（x）=，所以=.

令＞0，得0＜x＜3，令＜0，得x＜0，或x＞3.

所以f（x）的单调增区间为[0，3]（注意：写成开区间（0，3）也行），单调减区间为

（－∞，0）和（3，+∞）

（2）由（1）知f（x）在[0，3]上为增函数，在[3，4]上为减函数，

所以f（x）在[0，4]上的最大值是f（3）=.

又因为f（0）=－a＜0，f（4）=11a＞0,所以f（0）＜f（4），

所以f（x）在[0，4]上的最小值为f（0）=－a. 所以，若对，不等式＜1恒成立，

当且仅当，即＜1. 即+a＜1，解得：a＜. 又因为a＞0，所以0＜a＜.

故实数a的取值范围为.