Question

【题目】如图，在四棱锥中，侧面底面ABCD，侧棱，，底面ABCD为直角梯形，其中，，，O为AD中点．

求直线PB与平面POC所成角的余弦值．

求B点到平面PCD的距离．

线段PD上是否存在一点Q，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1)(2)(3)存在，

【解析】

试题（1）易得平面，所以即为所求．（2）由于，从而平面，所以可转化为求点到平面．（3）假设存在，过Q作，垂足为，过作，垂足为M，则即为二面角的平面角．设，利用求出，若，则存在，否则就不存在．

试题解析：（1） 在△PAD中PA="PD," O为AD中点，所以PO⊥AD,

又侧面PAD⊥底面ABCD, 平面平面ABCD="AD,"平面PAD，

所以PO⊥平面ABCD．

又在直角梯形 中,易得;

所以以 为坐标原点,为 轴, 为 轴,

为轴建立空间直角坐标系．

则,, ，;

, 易证:,

所以平面的法向量,

所以与平面所成角的余弦值为

（2），设平面PDC的法向量为，

则，取 得

点到平面的距离

（3）假设存在，且设．

因为

所以，

设平面CAQ的法向量中，则

取，得．

平面CAD的一个法向量为，

因为二面角Q OC D的余弦值为，所以．

整理化简得：或（舍去），

所以存在，且