Question

如图，侧棱垂直底面的三棱柱中，，，，是侧棱上的动点.
（1）当时，求证：；
（2）若二面角的平面角的余弦值为，试求实数的值.

Answer 1

见解析.

第一问利用∵面，∴，和∴四边形是正方形，∴∴. 
∵,∴
第二问中，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系.则，然后求解法向量表示二面角即可。
解：（1）∵面，∴，.
又∵，∴四边形是正方形，∴. 
∵，
∴. 又∵, ∴. 
∵,∴.  
（2）分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系.则
，
，.
　设平面的法向量，
则，解得,　令，则.  
　设平面的法向量，
则.由于，所以解得.
　令，则. 设二面角的平面角为，
则有.
化简得,解得（舍去）或.
　所以当时，二面角的平面角的余弦值为.