Question

【题目】如图，设椭圆 （a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1 ， F2 ， 点D在椭圆上．DF1⊥F1F2 ， =2 ，△DF1F2的面积为 ．

（1）求椭圆的标准方程；
（2）设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径．

Answer 1

【答案】
（1）解：设F1（﹣c，0），F2（c，0），其中c2=a2﹣b2，

由 =2 ，得|DF1|= = c，

从而 = |DF1||F1F2|= c2= ，故c=1．

从而|DF1|= ，由DF1⊥F1F2，得 = + = ，

因此|DF2|= ，

所以2a=|DF1|+|DF2|=2 ，故a= ，b2=a2﹣c2=1，

因此，所求椭圆的标准方程为 +y2=1；

（2）解：设圆心在y轴上的圆C与椭圆 +y2=1相交，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是两个交点，

y1＞0，y2＞0，F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2，由圆和椭圆的对称性，易知x2=﹣x1，y1=y2，|P1P2|=2|x1|，

由（1）知F1（﹣1，0），F2（1，0），所以 =（x1+1，y1）， =（﹣x1﹣1，y1），再由F1P1⊥F2P2，得﹣ + =0，

由椭圆方程得1﹣ = ，即3 +4x1=0，解得x1=﹣ 或x1=0．

当x1=0时，P1，P2重合，此时题设要求的圆不存在；

当x1=﹣ 时，过P1，P2，分别与F1P1，F2P2垂直的直线的交点即为圆心C．

由F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2，知CP1⊥CP2，又|CP1|=|CP2|，

故圆C的半径|CP1|= |P1P2|= |x1|=

【解析】（1）设F1（﹣c，0），F2（c，0），依题意，可求得c=1，易求得|DF1|= = ，|DF2|= ，从而可得2a=2 ，于是可求得椭圆的标准方程；（2）设圆心在y轴上的圆C与椭圆 +y2=1相交，P1（x1 ， y1），P2（x2 ， y2）是两个交点，依题意，利用圆和椭圆的对称性，易知x2=﹣x1 ， y1=y2 ， |P1P2|=2|x1|，
由F1P1⊥F2P2 ， 得x1=﹣ 或x1=0，分类讨论即可求得圆的半径．