题目内容
【题目】如图，正方体
中，
，P，Q分别是棱
和
的中点.
（1）求异面直线
和
所成角的大小；
（2）求以
，
，P，Q四点为四个顶点的四面体的体积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）建立空间直角坐标系，分别求出
坐标，进而求得
坐标，按照空间向量夹角公式，求出夹角余弦的绝对值，即可求解；
（2）由已知条件可得
平面
，求出
的面积，即可求出三棱锥
体积.
（1）以D为原点，
方向为x轴正方向，
方向为y轴正方向，
方向为z轴正方向建立空间直角坐标系．
得
，
，
，
．
故
，
．
设
与
所成的角的大小为
．
则
．
故与所成的角的大小为．
（2）该四面体是以
为底面，P为顶点的三棱锥．
由正方体可得
平面，四边形
为正方形，则
且
，
P，Q分别是棱
和
的中点，则
且
，
所以，四边形
为平行四边形，所以
，得平面，
所以P到平面
的距离
，的面积
．
因此四面体
的体积
．
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