题目内容

椭圆+=1的左、右焦点分别为F1和F2，过中心O作直线与椭圆交于A、B两点，若△ABF2的面积为20，求直线AB的方程.

思路解析：可以设出直线的方程，联立方程组得到弦长，结合已知面积可求.

解：∵当AB⊥F1F2时,·2·5≠20,

∴AB与F1F2不能垂直.

∴可设直线AB的方程为y=kx,设A、B两点的坐标分别为（xA,yA）、(xB,yB).

由得（4+9k2）x2-180=0,

|xA-xB|=×2.

∵=+

=|OF2|·|yB|+|OF2|·|yA|

=×5(|yB|+|yA|)=|yA-yB|,

又∵=20,∴|yA-yB|=20.∴|yA-yB|=8,即|kxA-kxB|=8.

把|xA-xB|=×2代入上式并平方,得4k2·=64,∴k=±.

∴所求直线方程为y=±x.

方法归纳

    解决直线与椭圆的交点问题，常把直线的方程与椭圆的方程组成方程组，消去y（或x）得到x(或y)的二次方程，由韦达定理或求根公式列出xA、xB、yA、yB之间的关系，并结合其他条件求得结果.

练习册系列答案
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精英家教网如图，在直角坐标系xOy中，已知椭圆C：
y2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率e=
3
2
，左右两个焦分别为F1、F2．过右焦点F2且与轴垂直的
直线与椭圆C相交M、N两点，且|MN|=1．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设椭圆C的左顶点为A，下顶点为B，动点P满足
PA
•
AB
=m-4，（m∈R）试求点P的轨迹方程，使点B关于该轨迹的对称点落在椭圆C上．

设F1、F2分别为椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右两个焦 点。（1）若椭圆C上的点A（1，）到F1、F2两点的 距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；

（2）设点K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段F1K的中点的轨迹方程.

 

（本小题满分12分）已知椭圆的方程为 ，双曲线的左、右焦

 

点分别是的左、右顶点，而的左、右顶点分别是的左、右焦点.

（1）求双曲线的方程；                                             

（2）若直线与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，求的范围。

 
如图，在直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，左右两个焦分别为F1、F2．过右焦点F2且与轴垂直的
直线与椭圆C相交M、N两点，且|MN|=1．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设椭圆C的左顶点为A，下顶点为B，动点P满足=m-4，（m∈R）试求点P的轨迹方程，使点B关于该轨迹的对称点落在椭圆C上．
如图，在直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，左右两个焦分别为F1、F2．过右焦点F2且与轴垂直的
直线与椭圆C相交M、N两点，且|MN|=1．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设椭圆C的左顶点为A，下顶点为B，动点P满足=m-4，（m∈R）试求点P的轨迹方程，使点B关于该轨迹的对称点落在椭圆C上．

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