Question

设F₁、F₂分别为椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右两个焦 点。（1）若椭圆C上的点A（1，）到F₁、F₂两点的 距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；

（2）设点K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段F₁K的中点的轨迹方程.

 

Answer 1

【答案】

（1）椭圆C的方程为=1，焦点F₁（－1，0），F₂（1，0）;（2）

【解析】

试题分析：（1）椭圆C的焦点在x轴上，

由椭圆上的点A到F₁、F₂两点的距离之和是4，得2a=4，即a="2." （2分）

又点A（1，）在椭圆上，因此=1得b²=3，于是c²="1." （4分）

所以椭圆C的方程为=1，焦点F₁（－1，0），F₂（1，0） （6分）

（2）设椭圆C上的动点为K（x₁， y₁），线段F₁K的中点Q（x，y）满足：

， 即x₁=2x+1，y₁=2y. （10分）

代入=1得=1.

即为所求的轨迹方程. （14分）

考点：本题考查了椭圆方程的求法及轨迹方程的求法

点评：处理轨迹问题时往往用到以下要注意用到这个方法：（1）结合解析几何中某种曲线的定义，从定义出发寻找解决问题的方法；（2）利用几何性质，若所求的轨迹与图形的性质相关，往往利用三角形或圆的性质来解问题；（3）如果点P的运动轨迹或所在曲线已知，又点Q与点P之间的坐标可以建立某种关系，则借助点P的轨迹可以得到点Q的轨迹；（4）参数法