Question

16．已知f（x）=$\frac{lnx}{x}$，g（x）=$\frac{1}{2}$mx-$\frac{1}{x}$+m-1（m为整数）
（1）求曲线y=f（x）在点（$\frac{1}{e}$，f（$\frac{1}{e}$））处的切线方程；
（2）求函数y=g（x）的单调递减区间．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程；
（2）求出g（x）的导数，讨论m≥0，m＜0，由导数小于0，可得减区间．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{lnx}{x}$的导数为f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
可得在点（$\frac{1}{e}$，f（$\frac{1}{e}$））处的切线斜率为f′（$\frac{1}{e}$）=$\frac{1-（-1）}{\frac{1}{{e}^{2}}}$=2e²，
切点为（$\frac{1}{e}$，-e），可得切线的方程为y+e=2e²（x-$\frac{1}{e}$），
即为y=2e²x-3e；
（2）g（x）=$\frac{1}{2}$mx-$\frac{1}{x}$+m-1的导数为g′（x）=$\frac{1}{2}$m+$\frac{1}{{x}^{2}}$，
当m≥0时，g′（x）＞0，g（x）递增；
当m＜0时，由g′（x）＜0，可得x＞$\sqrt{\frac{-2}{m}}$或x＜-$\sqrt{\frac{-2}{m}}$．
综上可得，m≥0时，g（x）无减区间；
m＜0时，单调减区间为（$\sqrt{\frac{-2}{m}}$，+∞），（-∞，-$\sqrt{\frac{-2}{m}}$）．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．